अवकल समीकरण y^2 dx + (x - frac{1}{y}) dy = 0 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ प्राप्त होता है।$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ प्राप्त होता है।$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।सामान्य हल $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ है।माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$. साथ ही,$\frac{1}{y} = -t$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ प्राप्त होता है।अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.दिया गया है कि $x=1$ पर $y=1$,इसलिए $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.$y=2$ के लिए,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.$e^{-1/2}$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ पर विचार करें। यदि $x = 1$ होने पर $y$ का मान $1$ है,तो $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y = 2$ है:

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